Matemática - Master of Numbers

Função definida por mais de uma sentença - Gráfico Para construir o gráfico de uma função definida por mais de uma sentença, devemos  fazê-lo por partes, considerando a lei de formação que determina cada uma das partes  da função. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função g: R→R, definida por: Vamos construir separadamente o gráfico correspondente a cada sentença da função e depois reunir essas representações no mesmo plano cartesiano. I. Considerando a sentença g¹(x) = x + 3, se x  ≤  2. O gráfico correspondente é o gráfico da função afim definida por y = x + 3, em que x  ≤  2 Nesse caso, escolhemos dois valores de x pertencentes intervalo indicado e determinamos dois pontos pertencentes à reta correspondente a esse gráfico. II. Considerando a sentença g²(x) = x _ 1 se 2 , x < 5. O gráfico correspondente é o gráfico da função afim definida por y = x _ 1, em que  x  ∈  ]2, 5]. Nesse caso, escolhemos dois valores de x  ∈  ]2, 5] e determi

Gráfico da Função Inversa O gráfico da função inversa f  -1  será sempre simétrico ao gráfico da função f em relação à reta y = x, o que permite analisar o comportamento dessas funções, ainda que não consigamos descrever a lei de formação da função inversa em alguns casos, devido a sua complexidade. ° Para descobrir o gráfico de uma função Inversa, basta invertemos as coordenadas do gráfico. Claro, há casos específicos, mas é desta forma em sua maioria. Por exemplo: Coordenadas: (0,1), (0.5,0), (-1,1), (0.5,2) . . . Coordenadas: (1,0), (0,0.5), (1,-1), (2,0.5) . . . Para afirmamos se o gráfico da função Inversa está realmente correto, é só traçarmos um reta constante, onde y=x: Referências: Link da Referência

Função Inversa A função inversa f -¹ é um tipo de função bijetora, ou seja, ela é sobrejetora e injetora em simultâneo. Recebe esse nome, pois a partir de uma função, é possível inverter os elementos correspondentes, de modo a escrever outra. Se uma função  f  leva os elementos de seu domínio A ao seu contradomínio B, a função inversa  f -¹ faz o caminho de volta, retornando os elementos de B para A. Seja a função f de domínio A e contradomínio B: Sua função inversa f -¹  à potência de menos 1 fim do exponencial de domínio B e contradomínio A, é: Sua função inversa f -¹ de domínio B e contradomínio A, é: Dada uma função bijetora f: A → B com domínio A e contradomínio B, ela apresenta a função inversa f-: B → A, com domínio B e contradomínio A. Exemplo: Dadas as funções: A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-16, -2, 0, 2, 16} observe a imagem abaixo: Assim, podemos compreender que o domínio de f corresponde a imagem de f-¹. Já a imagem de f é igual ao domínio

Função Bijetora Esta função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, porque cada elemento de x relaciona-se com um único elemento de f(x). Neste tipo, não acontece de dois número distintos terem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem têm mesma quantidade de elementos. **Exemplos: Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {v, x, y, z} Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {a, b, c, d} Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {a, b, c, d} Vamos aos exercícios! 1. Uma função é classificada como bijetora se: A) ela for injetora e não for sobrejetora. B) ela for sobrejetora e não for injetora. C) ela não for sobrejetora nem injetora. D) ela for sobrejetora e injetora. E) ela estiver domínio nos números reais. 2. Nos diagramas a seguir, há uma relação entre o conjunto A e o conjunto B. 2. Sobre está relação, podemos afirmar que: A) a função f é injetora e não sobrejetora. B) a função f é sobrejetora e não injetora. C) a

Função Sobrejetora  Nesta função, todos os elementos do domínio têm um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem. Quando isso acontece, imagem e contradomínio têm a mesma quantidade de elementos.  Exemplos: Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {v, x, y, z} Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {a, b, c} Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {a, b, c} Vamos aos Exercícios! 1. Uma função é classificada como sobrejetora se: A) todo elemento do domínio possui exatamente um correspondente no contradomínio. B) todo elemento do contradomínio for correspondente de, pelo menos, um elemento no domínio. C) todo elemento do contradomínio for correspondente de, pelo menos, dois elementos no domínio. D) todo elemento do domínio possuir, pelo menos, um correspondente no contradomínio. E) todo elemento do contradomínio for correspondente de um único elemento no domínio. 2. Analise a relação ent

Função Bijetora Neste tipo, cada elemento do domínio (x) tem associação a um único elemento da imagem f(x). Contudo, pode haver elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso ocorre, dizemos que o contradomínio e a imagem são diferentes. Exemplo: Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {x, y, z} Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {a, b, c} Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {a, b, c, d} Vamos aos Exercícios! 1. Existem vários tipos de função, sendo uma das classificações possíveis a de função injetora. Uma função é classificada como injetora quando: A) todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento no domínio. B) elementos distintos do domínio sempre possuem imagens distintas no contradomínio. C) ela é sobrejetora e bijetora. D) admite uma função inversa, ou seja, se for inversível. 2. No diagrama a seguir, estão representadas duas funções: a função f e a função g. Analisando o d

https://www.geogebra.org/classic/rc2h8gkz?embed Gráfico da Função Quadrática

https://www.geogebra.org/classic/ur55mau3?embed gráfico da função Afim

Ponto máximo e ponto mínimo de uma função do 2º grau O ponto de máximo e o ponto de mínimo de uma função do 2º grau são definidos pela concavidade da parábola, se está voltada para baixo ou para cima. **A concavidade da parábola define o ponto máximo e o ponto mínimo da função do 2º grau. Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja: Para determinar o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau, basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas: O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras. Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis. Biologia: na análise do processo

Estudo do sinal de uma função do segundo grau O estudo do sinal de uma função quadrática pode ser feito observando o esboço de sua representação gráfica que, como já estudamos, é uma parábola.  De acordo com a concavidade da parábola, relacionada com o coeficiente a, e com a quantidade de zeros da função, relacionada com o valor de D, podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática e fazer o estudo de sinais, como verificado a seguir.  • Considerando a   >  0, temos as seguintes possibilidades: Considerando a  <  0, temos as seguintes possibilidades: Referências: Livro de Matemática do Ensino Médio - Conjuntos e Funções

 Forma fatorada da Função quadrática Considere a equação ax2 + bx + c = 0. Colocando a em evidência, obtemos: Então, podemos escrever: Logo, a forma fatorada da equação  ax 2  + bx + c = 0 é: a.(x - x') . (x - x'') = 0 Exemplos : Escreva na forma fatorada a equação x 2  - 5x + 6 = 0. Solução: Calculando as raízes da equação x 2  - 5x + 6 = 0, obtemos x 1 = 2 e x 2 = 3. Sendo a= 1, x 1 = 2 e x 2 = 3, a forma fatorada de x 2  - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita: (x-2).(x-3) = 0 Escreva na forma fatorada a equação 2x 2  - 20x + 50 = 0. Solução : Calculando as raízes da equação 2x 2  - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5. Sendo a= 2, x 1 =x 2 = 5, a forma fatorada de 2x 2  - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita: 2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5) 2 =0        Escreva na forma fatorada a equação x 2   + 2x + 2 = 0.        Solução:        Como o   , a equação não possui raízes reais.        Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR. Referências: https://

Gráfico da Função Quadrática O gráfico da função de 2º grau é representado pela parábola, que pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função em uma equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bhaskara. A parábola é voltada para cima quando 'a' é maior que 0. a>0 E para baixo quando a é menor que 0. a<0 Como podemos construir o gráfico de uma função Quadrática? O primeiro passo para a construção desse tipo de gráfico é encontrar as raízes dessa função: f (x)=x² -4x +3  x'=3    x''=1 Log

Vértice da Parábola O vértice da parábola é o ponto de mínimo ou de máximo do gráfico. Para encontrar o valor de x e y no vértice, utilizamos uma fórmula específica. Vale ressaltar que o vértice é um ponto V, logo ele possui coordenadas, representadas por xv e yv. Para calcular o valor de V (xv, yv), utilizamos as fórmulas: "Mas quando a gente usa essas fórmulas?" Geralmente, encontramos o X e Y de Vértice para a construção do gráfico de uma Função Quadrática, o qual iremos falar em um momento mais à frente. Referências: https://www.todamateria.com.br/vertice-da-parabola/

Raízes da Função Quadrática (ou zero da função) Para encontrar as raízes da função quadrática, conhecidas também como zero da função, é necessário o domínio das equações do segundo grau. Para resolver uma equação do segundo grau, há vários métodos, como a fórmula de Bhaskara e a soma e produto. A raízes de uma função quadrática são os valores de x que fazem com que f(x) = 0. Sendo assim, para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, faremos ax² + bx + c = 0   As raízes de uma Função quadrática são muito importantes para a construção do seu gráfico, que veremos mais à frente. Exemplo: de uso da formula de Bhaskara: f(x) = x² +2x – 3 a=1 b=2 c=-3 Δ =b² – 4ac Δ=2² – 4 ·1·(-3) Δ=4 +12 Δ = 16 Vamos aos exercícios! 1.O produto das raízes da equação 2x² + 4 - 6 é igual a: a) 2 b)-2 c)-3 d)1 2.Dada a equação -x² -4x +5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é: a) x'=2 e x''=-2 b) x'=-5 e x''=1 c) x''=-10 e x''=-1 d) x&#

 Função Quadrática A Função quadrática também pode ser denominada função polinomial do 2˙ grau, pois as relações entre a variável dependente e a variável independente são expressas por polinômios do 2˙ grau. Uma função f : R  →  R, definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c reais e a  ≠   0, é chamada de função quadrática. Os números a, b e c são os coeficientes (ou parâmetros) da função, sendo que a é o coeficiente do termo x ²  , b é o coeficiente do termo x e c é o coeficiente independente. Observe a seguir a lei de formação de algumas funções quadráticas a) f(x) = x ²  -3x + 2, em que os coeficientes são: a = 1, b = -3 e c = 2. b) g(x) = 0,8x ²  - 1, em que os coeficientes são: a = 0,8, b = 0 e c = -1. d) y = -5x ²  , com os coeficientes: a = -5, b = 0 e c = 0. ° Não são leis de funções quadráticas: h(x) = 7x                                  y = x ⁴  + 2x ²             y = 5x Referências: Livro Matemática do Ensino Médio - Conjunto e Funções. Link das Imagens: https://www.google

Estudo do sinal da Função Afim Para estudar o sinal de uma função, verificamos os elementos do seu domínio para os quais a imagem pela função é um valor positivo, um valor negativo ou um valor nulo. Considerando uma função f, de domínio D(f), temos: • f é positiva para os valores de x ∈ D(f) em que f(x) > 0; • f é negativa para os valores de x ∈ D(f) em que f(x) < 0; • f é nula para os valores de x ∈ D(f) em que f(x) = 0 (zeros da função). Para estudar o sinal de uma função afim dada por f(x) = ax + b, considerando a ≠ 0, podemos inicialmente determinar o zero da função, que genericamente pode ser escrito como x =- b/a. Em seguida, desenhamos um esboço do gráfico da função afim, levando em consideração o fato de ela ser crescente (a > 0) ou ser decrescente (a < 0). Por fim, analisamos esse esboço, como indicado a seguir. Observações: • Se a = 0 e b  ≠  0, a função afim é a função constante dada por f(x) = b. Nesse caso, temos: • Se a = 0 e b = 0, a função afim é a função nu

Crescimento e Decrescimento da Função Afim. Estudar o comportamento de uma função à medida que os valores do domínio aumentam ou diminuem nos permite verificar se essa função é crescente ou decrescente em um intervalo do seu domínio. Uma função f é crescente em um intervalo [a, b] de seu domínio D(f) quando, para quaisquer valores de x1 e x2 desse intervalo, com x1, x2, temos f(x1) , f(x2).  Uma função f é decrescente em um intervalo [a, b] de seu domínio D(f) quando para quaisquer valores de x1 e x2 desse intervalo, com x1 , x2, temos f(x1) . f(x2). No caso da função afim, podemos determinar se ela é crescente ou decrescente com base no sinal do coeficiente a na lei de formação y = ax + b. Por exemplo: a) f(x) = 2x + 1 (a > 0) Aumentando os valores atribuídos a x, aumentam também os valores corres- pondentes da imagem f(x). A função f é crescente em todo seu domínio.  b) g(x) = -2x + 1(a<0)   Aumentando os valores atribuídos a x, diminuem os valores cor

Função Linear  Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função Linear quando a cada elemento x ∈ ℝ associa o elemento ax ∈ℝ em que a≠0 é um número real dado, isto é: f (x)=ax Por exemplo: f (x)=2x f (0)=2(0)    (0,0) f (1)=2(1)    (1,2) f (2)=2(2)    (2,4) Gráfico Demonstra-se que o gráfico é uma reta que passa origem. y=2x A reta pode alcançar uma angulação de 0° a 180° exceto 90°. 0°<θ<180° Referências: Livro de Matemática do Ensino Médio - Conjuntos e funções.

Função Constante Uma aplicação f de R em R  recebe o nome de constante quando a cada elemento x∈ℝ associa sempre o mesmo elemento c  ∈ ℝ. f (x)= c Gráfico  O gráfico da Função Constante é uma reta paralela ao eixo das abcissas passando pelo ponto (0, c ). A imagem é o conjunto Im={  c  }  Por exemplo: f (x)=1           D=ℝ f (0)=1           CD=ℝ f (1)=1           Im={ 1 } f (-1)=1 Vamos aos exercícios! ° Construa o gráfico de cada Função Constante a seguir. a)y=2 b)y=√2 c)y=-3 Respostas a)y=2 b)y=√2 c)y=-3 Referências: https://beduka.com/blog/materias/matematica/funcao-constante/?amp