Matemática - Master of Numbers

Com as dificuldade de ensino enfrentadas durante a pandemia, percebi que este ano seria um ano atípico para nós, os estudantes. Eu particularmente tive que aprender novos assuntos para não prejudicar o meu ano letivo, mesmo que estes sejam assuntos do fundamental prejudicado pela pandemia. Partindo desta ideia, acredito que tive um bom desempenho durante o ano. Noções de lógica, funções, conjuntos, todos são assuntos que tenho uma pequena noção de aprendizagem, e pretendo estudar ainda mais para usá-los no meu futuro, no qual eu pretendo seguir na área de matemática. Mesmo com o desempenho razoável, sinto que posso melhorar e muito o meu nível de aprendizagem no ano de 2023, estudando não só para os assuntos do ambiente escolar, mas também para olimpíadas e outras provas importantes.

Classificação de uma PG Uma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q. Crescente:  Para que ela seja crescente, o segundo termo deve ser maior que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 < a2 < a3 < a4 < … < an. Uma PG é crescente se, e somente se, a razão for maior que um, ou seja, q > 1. Exemplo: (2, 10, 50, 250, …), q = 5, logo a PG é crescente. Constante:  Para que ela seja constante, os termos precisam ser todos iguais: a1 = a2 =...= an. Uma PG é constante se, e somente se, a razão for igual a 1, ou seja, q = 1. Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1, logo a PG é constante. Decrescente:  Para que ela seja decrescente, o segundo termo deve ser menor que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 > a2 > a3 > a4 >

Progressão Geometrica - Definição   (Você deve estar se perguntando: "Por que ele usou esse meme outra vez?") Bom, eu usei esse meme duas vezes. Entendeu? 2 × . Progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que, após o primeiro termo, os termos posteriores da sequência são construídos a partir da multiplicação de uma razão q pelo termo antecessor. Exemplo: - PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2. Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …). a1 = 2 a2 = 2.3 = 6 a3 = 6.3 = 18 a4 = 18.3 = 54 a5 = 54.3 = 162. A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).  A razão de uma PG pode ser encontrada a partir da divisão de um termo da sequência pelo seu antecessor. Ao fazer isso, caso ela seja realmente uma progressão geométrica, essa divisão sempre será igual a q. Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32) Logo, essa PG possui razão q = 2. Propriedades de uma PG 1ª propriedade Devido ao comportamento da PG, ela preserva algumas propried

Função Exponencial  A função exponencial representa uma relação de dependência. Nesse tipo de operação matemática existe uma variável (incógnita) no expoente e o número real (maior que zero e diferente de um) na base. Tal função, é explicitada da seguinte forma: f: R-->R tal que y = aˣ, sendo que a > 0 e a ≠ 1. Confira abaixo alguns exemplos de funções exponenciais: y = 7ˣ + 1 y = 2ˣ + 2 y = 0,5ˣ y = 3ˣ Quanto a seu uso, a função exponencial pode auxiliar na realização de diversos cálculos, por exemplo: crescimento populacional, evolução de capital por juros compostos, decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias em uma colônia, etc. Propriedades As funções exponenciais possuem algumas propriedades relacionadas à potenciação, além de características que ajudam na realização de cálculos. Confira abaixo: 1ª propriedade: se x = 0, logo f(x) = 1 Essa propriedade abrange noções de potenciação, onde todo número elevado a 0 é igual a 1. Observe a função f

Gráfico da Função Exponencial A função exponencial pode ser representada através de um gráfico traçado a partir de pontos no plano cartesiano. Como nesse tipo de função a base é maior que 0, a imagem será positiva e não existirão pontos nos quadrantes III e IV - que caracterizam uma imagem negativa.  Este gráfico sempre estará abaixo do eixo x no plano cartesiano. Deste modo, quando a função é decrescente, os valores de y aproximam-se de zero na medida que o valor de x cresce. Já na função crescente, se x cresce y também cresce.  Para construir o gráfico da função é necessário atribuir valores para x e montar uma tabela com os respectivos valores de f(x), marcando os pontos no plano cartesiano e, por fim, traçar a curva do gráfico.  Observe abaixo os gráficos das funções crescente e decrescente:  Como construir o gráfico de uma Função Exponencial? Em uma função qualquer, encontrar pares ordenados que pertençam ao seu gráfico é tarefa simples: basta escolher valo

Propriedades da P.A 1° Propriedade Dado um termo qualquer de uma PA, a média aritmética entre seu sucessor e antecessor é igual a esse termo. Exemplo: Considere a progressão (-1, 2 , 5, 8, 11) e o termo 8. A média entre 11 e 5 é igual a 8, ou seja, a soma do sucessor com o antecessor de um número na PA sempre é igual a esse número. 2ª propriedade A soma de termos equidistantes é sempre igual. Exemplo: Soma dos termos de uma PA Suponha que queiramos somar os seis termos da PA mostrada anteriormente: (16,13,10,7,4,1). Podemos simplesmente somar os seus termos – nesse caso em que há poucos termos, é possível –, mas se for uma sequência maior, convém utilizar a propriedade. Sabemos que a soma de termos equidistantes é sempre igual, como vimos na propriedade, então, se realizarmos essa soma uma vez e multiplicarmos pela metade da quantidade de termos, teremos a soma dos seis primeiros termos da PA. Note que, no exemplo, estaríamos calculando a

Progressão Aritmética O que é uma P.A? Entendendo que uma PA é uma sequência de termos em que a diferença entre um termo e o seu anterior é sempre constante, para descrever essa progressão a partir de uma fórmula, precisamos encontrar o termo inicial, ou seja, o primeiro termo de uma progressão, e a sua razão, que é essa diferença constante entre os termos. De modo geral, a PA é escrita da seguinte forma: (a1, a2,a3, a4,a5, a6,a7, a8) O primeiro termo é o a1 e, a partir dele, ao somar a razão r, vamos encontrar o termos sucessor. a1 + r = a2 a2 + r = a3 a3 + r = a4 ... Logo, para escrever a progressão aritmética, precisamos saber quem é o seu primeiro termo e qual a sua razão. Exemplo: Vamos escrever os seis primeiros termos de uma PA sabendo que seu primeiro termo é 4 e sua razão é igual a 2. Conhecendo a1 =4 e r = 2, concluímos que essa progressão começa em 4 e vai aumentando de 2 em 2. Sendo assim, podemos descrever os seus termos. a1 = 4 a2 = 4+ 2 = 6 a3 = 6

Gráfico da função Logarítmica O gráfico da função logarítmica é uma curva, construída em razão dos valores aplicados em x e os respectivos resultados calculados para f (x).  As coordenadas são colocadas dentro do plano cartesiano nos quadrantes I e II, pois essa função é caracterizada por x > 0. Além disso, a depender da base "a", são classificadas em crescente e decrescente. Função Crescente Caso a base a seja maior que 1 (x1 < x2 <---> loga x1 < loga x2), a função logarítmica é dita como crescente, já que à medida que x aumenta acontece o mesmo com o f(x). É uma curva que cresce em virtude do aumento de x.  Quando estipulamos valores reais positivos para x e encontramos imagens, que podem ser todos os tipos de reais, inclusive os negativos, o gráfico crescente é da seguinte forma:  Função decrescente Se a base for 0 < a < 1, a função é decrescente em todo o seu domínio (x1 < x2<--->loga x1 > loga x2). Isso ocorre porque à medida

Função Logarítmica - Definição Conhecemos como função logarítmica toda função  com lei de formação . Em sua lei de formação, a base do logaritmo representada por 'a' deve ser um número positivo diferente de 1. x = variável independente f (x) = variável dependente  a = base do logaritmo  Vale relembrar a definição de logaritmo. O logaritmo b na base a, ou seja, , é igual ao expoente x que devemos elevar à base a que faz com que Temos como exemplo de função logarítmica: Referências: Link da Referência:

Gráfico da Função Modular A representação gráfica é bastante comum no estudo de funções. O gráfico da função modular possui um comportamento que depende do polinômio que está na lei de formação dessa função. Vejamos, a seguir, alguns exemplos de gráfico de função modular. Exemplo 1: f(x) = |x + 1| Analisando o gráfico, podemos dividir ele em dois casos: f(x) = x + 1 → se x + 1 ≥ 0 f(x) = -x – 1 → se x + 1 < 0 Primeiro encontraremos o zero da função. |x + 1| = 0 x + 1 = 0 x = -1 Sabemos que o ponto A (-1, 0) pertence ao gráfico dessa função. Agora escolheremos um valor menor e um valor maior para x. Escolhendo x = -2: f(-2) = |-2 + 1| = |-1| = 1  B (-2, 1) Agora, faremos x = 0: f(0) = |0 + 1| = |1| = 1 C(0, 1) Então marcaremos os três pontos no gráfico e faremos a representação dessa função: Exemplo 2: f(x) = |x² – 4| Primeiro encontraremos o zero da função: x² – 4 = 0 x² = 4 x = ±√4 x = ±2 Então, temos que x1 = 2 e x2 = -2 Encontraremos o vértice da função. P

 Função modular   O que é função modular? Classificamos uma função como modular quando essa função for f : A → B e, em sua lei de formação, existir uma variável que esteja dentro do módulo. Exemplos: f(x) = |x| f(x) = |x² – 3x + 5| h(x) = |sen (x)| i(x) = |2x + 1| – 4 Para compreender o que é uma função modular, é importante lembrarmos o que é o módulo de um número. O módulo de número n por |n|, por definição, é: Vejamos alguns exemplos a seguir: |4| → Sabemos que 4 > 0 → |4| = 4 |-3| → Sabemos que -3 < 0 → |-3| = – (-3) = 3 Note que o módulo de um número é sempre o seu valor absoluto, ou seja, sempre positivo. |-2,4| = 2,4 |1000| = 1000 Propriedades da função modular Quando estudamos função modular, é importante compreendermos as principais propriedades do módulo de um número, vejamos as propriedades a seguir: Para compreender as propriedades, considere n e m como dois números reais. 1ª propriedade: o módulo de um número real é igual ao módulo do seu oposto. |n| = |-n| 2ª propri