Progressão Geometrica - Classificação e Termos.

- dezembro 04, 2022

Classificação de uma PG

Uma PG pode ser classificada como finita, quando existir uma qualidade limitada de termos, ou infinita. Além disso, também classificamos a PG de acordo com seu comportamento, podendo ser crescente, decrescente, constante e oscilante. Essa classificação depende diretamente da razão q.

Crescente:

Para que ela seja crescente, o segundo termo deve ser maior que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 < a2 < a3 < a4 < … < an. Uma PG é crescente se, e somente se, a razão for maior que um, ou seja, q > 1. Exemplo: (2, 10, 50, 250, …), q = 5, logo a PG é crescente.

Constante:

Para que ela seja constante, os termos precisam ser todos iguais: a1 = a2 =...= an. Uma PG é constante se, e somente se, a razão for igual a 1, ou seja, q = 1. Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), q = 1, logo a PG é constante.

Decrescente:

Para que ela seja decrescente, o segundo termo deve ser menor que o primeiro e assim sucessivamente, ou seja, a1 > a2 > a3 > a4 > … > an. Uma PG é decrescente se, e somente se, a razão for um número entre zero e um, ou seja, 0 > q > 1. Exemplo:

Oscilante:

Para que ela seja oscilante, os termos são alternadamente negativos e positivos, o que ocorre quando a razão é negativa, ou seja, q < 0. Exemplo: (1,-4,8,-32,128…) e q = - 2, logo a PG é oscilante.

Termos de uma PG

Os termos de uma PG podem ser encontrados a partir de uma fórmula que depende somente do termo inicial e da razão. A fórmula para encontrar os termos de uma PG é:

Demonstração da fórmula:

Exemplo:

Encontre o 9º termo de uma PG que possui a1 = 3 e q = 5.

Termo geral de uma PG

Quando conhecemos o primeiro termo e a razão, é possível simplificar a fórmula do termo de uma PG para encontrarmos o termo geral, que depende somente do valor de n que queremos encontrar. Para isso, substituímos o valor do primeiro termo e da razão na fórmula.

Exemplo:

Encontre o termo geral da PG sabendo que a1 = 81 e q = 1/3.

Resolução:

Note que agora, dado o valor de n, é possível encontrar qualquer termo dessa sequência.

Soma dos termos de uma PG

Somar os termos de uma PG seria uma tarefa bastante trabalhosa se a quantidade dos termos fosse muito grande. Para somas pequenas, a escrita desses termos e a realização da soma bastariam. Porém, há problemas em que o interesse é realizar a soma dos n termos de uma PG, mas a quantidade de termos a serem somados é grande. Nesses casos, devemos usar a seguinte fórmula:

Note que essa fórmula depende do valor de n, ou seja, ela só serve para uma quantidade limitada de valores, por isso dizemos que essa é a soma dos termos de uma PG finita.

Exemplo:

Qual é o valor da soma dos 10 primeiros termos da PG (3,6,12, 24,…)?

Resolução:

Temos que a1 = 3, n = 10 e, ao dividir um termo pelo antecessor, vamos encontrar a razão (q = 2).

Assim, a soma dos 10 primeiros termos será:

Um caso particular para soma dos termos da PG é quando ela é infinita e decrescente. Nesse caso, a razão q é um número entre zero e 1 (0 < q < 1). Com isso, é possível encontrar uma nova fórmula que só serve para esses casos: