Progressão Aritmética - Propriedades

Propriedades da P.A

1° Propriedade

Dado um termo qualquer de uma PA, a média aritmética entre seu sucessor e antecessor é igual a esse termo.

Exemplo:

Considere a progressão (-1, 2 , 5, 8, 11) e o termo 8. A média entre 11 e 5 é igual a 8, ou seja, a soma do sucessor com o antecessor de um número na PA sempre é igual a esse número.

2ª propriedade

A soma de termos equidistantes é sempre igual.

Exemplo:

Soma dos termos de uma PA

Suponha que queiramos somar os seis termos da PA mostrada anteriormente: (16,13,10,7,4,1). Podemos simplesmente somar os seus termos – nesse caso em que há poucos termos, é possível –, mas se for uma sequência maior, convém utilizar a propriedade. Sabemos que a soma de termos equidistantes é sempre igual, como vimos na propriedade, então, se realizarmos essa soma uma vez e multiplicarmos pela metade da quantidade de termos, teremos a soma dos seis primeiros termos da PA.

Note que, no exemplo, estaríamos calculando a soma do primeiro com o último, que é igual a 17, multiplicada pela metade da quantidade de termos, ou seja, 17 vezes 3, que é igual a 51.

A fórmula da soma dos termos de uma PA foi desenvolvida pelo matemático Gauss, que percebeu essa simetria nas progressões aritméticas. A fórmula é escrita da seguinte forma:

Sn → soma dos n elementos

a1 → primeiro termo

an → último termo

n → quantidade de termos

Exemplo:

Calcule a soma dos números ímpares de 1 até 2000.

Resolução:

Sabemos que essa sequência é uma PA (1,3,5, …. 1997, 1999). Realizar a soma seria bastante trabalhoso, logo a fórmula é bastante conveniente. De 1 até 2000, metade dos números são ímpares, logo há 1000 números ímpares.

Dados:

n→ 1000

a1 → 1

an → 1999

Interpolação de meios aritméticos

Conhecendo dois termos não consecutivos de uma progressão aritmética, é possível encontrar todos os termos que estão entre esses dois números, o que conhecemos como interpolação de meios aritméticos.

Exemplo:

Vamos interpolar 5 meios aritméticos entre 13 e 55. Isso significa que há 5 números entre 13 e 55 e que eles formam uma progressão.

(13, ___,___,___,___,___, 55).

Para encontrar esses números, é necessário encontrar a razão. Conhecemos o primeiro termo (a1 = 13) e também o 7º termo (a7= 55), mas sabemos que:

an = a1 + r ·(n – 1 )

Quando n = 7 → an= 55. Também conhecemos o valor de a1=13. Assim, substituindo na fórmula, temos que:

55 = 13 + r ·( 7 – 1 )

55 = 13 + 6r

55 – 13 = 6r

42 = 6r

r = 42:6

r = 7.

Conhecendo a razão, podemos encontrar os termos que estão entre 13 e 55.

13 + 7 = 20

21 + 7 = 27

28 + 7 = 34

35 + 7 = 41

41 + 7 = 49

(13, 20, 27, 34, 41, 49, 55)

Referências:

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