Conjunto Numéricos - Números Racionais

Conjunto dos números Racionais

 Dado um número inteiro 𝑞 ≠ 1 e −1, o inverso de 𝑞 não existe em ℤ: 1 𝑞 ∉ ℤ.

Por isso não podemos definir em ℤ a operação de divisão, dando significado ao símbolo 𝑝/𝑞 Vamos superar essa dificuldade introduzindo os números racionais.

Chama-se conjunto dos números racionais — símbolo ℚ — o conjunto dos pares ordenados (ou frações) 𝑎/𝑏, em que 𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ ∗, para os quais adotam-se as seguintes definições: 4

1ª) igualdade: 𝑎/𝑏 = 𝑐/𝑑 ⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 

2ª) adição: 𝑎/𝑏 + 𝑐/𝑑 = 𝑎𝑑:𝑏𝑐 𝑏𝑑 

3ª) multiplicação: 𝑎/𝑏 ∙ 𝑐/𝑑 = 𝑎𝑐/𝑏d

No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: 

ℚ; (conjunto dos racionais não positivos);

ℚ: (conjunto dos racionais não negativos); 

 ℚ∗ (conjunto dos racionais não nulos).

Na fração 𝑎 𝑏, 𝑎 é o numerador e 𝑏 o denominador. Se 𝑎 e 𝑏 são primos entre si, isto é, se 𝑚𝑑𝑐 𝑎, 𝑏 = 1, dizemos que 𝑎 𝑏 é uma fração irredutível. 

Assim, as frações 2/3, 3/7 e 7/15 são irredutíveis, mas 6/10 não é.

Consideremos o conjunto ℚ′ formado pelos números racionais com denominador unitário:

ℚ′ = {𝑥/1; 𝑥 ∈ ℤ}

Temos:

 𝑎/1 = 𝑏/1 ⇔ 𝑎 = 𝑏

𝑎/1 + 𝑏/1 = 𝑎 + 𝑏/1 ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 

𝑎/1 ∙ 𝑏/1 = 𝑎 ∙ 𝑏/1 ⇔ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ b

portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade, a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros.

Assim, fazendo o racional 𝑥 1 coincidir com o inteiro x, decorre que: 

ℚ′ = ℤ, logo, ℤ ⊂ ℚ 

Operações em ℚ

 Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as seguintes propriedades:

[A.1] (𝑎/𝑏 + 𝑐/𝑑) + (𝑒/𝑓) = 𝑎/𝑏 + (𝑐/𝑑 + 𝑒/f )

[A.2] 𝑎/𝑏 + 𝑐/𝑑 = 𝑐/𝑑 + 𝑎/b

[A.3] 𝑎/𝑏 + 0 = 𝑎/b 

[A.4] 𝑎/𝑏 + (− 𝑎/𝑏) = 0

[M.1] (𝑎/𝑏 ∙ 𝑐/𝑑) ∙ 𝑒/𝑓 = 𝑎/𝑏 ∙ (𝑐/𝑑 ∙ 𝑒/𝑓)

[M.2] 𝑎/𝑏 ∙ 𝑐/𝑑 = 𝑐/𝑑 ∙ 𝑎/𝑏 

[D] 𝑎/𝑏 ∙ (𝑐/𝑑 + 𝑒/𝑓) = 𝑎/𝑏 ∙ 𝑐/𝑑 + 𝑎/𝑏 ∙ 𝑒/f

em que 𝑎/𝑏, 𝑐/𝑑 e 𝑒/𝑓 são racionais quaisquer; portanto, são válidas as mesmas propriedades formais vistas para os números inteiros. 

Além dessas, temos também a seguinte: 

[M.4] simétrico ou inverso para a multiplicação para todo 𝑎 𝑏 ∈ ℚ e 𝑎 𝑏 ≠ 0, existe 𝑎 𝑏 ∈ ℚ tal que 𝑎 𝑏 ∙ 𝑏 𝑎 = 1 Devido à propriedade [M.4], podemos definir em ℚ∗ a operação de divisão, estabelecendo que 𝑎/𝑏: 𝑐/𝑑 = 𝑎/𝑏 ∙ 𝑑/𝑐 para 𝑎/𝑏 e 𝑐/𝑑 racionais quaisquer não nulos. 

Notemos que todo número racional 𝑎 𝑏 pode ser representado por um número decimal. 

Passa-se um número racional 𝑎 𝑏 para a forma de número decimal dividindo o inteiro 𝑎 pelo inteiro 𝑏.

 Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 

1º) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, é uma decimal exata. 

Exemplos:

a) 3/1 = 3 

b) 1/2 = 0,5 

c) 1/20 = 0,05 

d) 27/1000 = 0,027 

O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica. 

Exemplos: 

a) 1/3 = 0,333 … = 0, 3 (período 3) 

b) 2 7 = 0,285714285714 … = 0, 285714 (período 285714)

c) 11/6 = 1,8333 … = 1,83 (período 3) 

Podemos notar também que todo número na forma de decimal exata ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração 𝑎/𝑏 e, portanto, representa um número racional

Quando a decimal é exata, podemos transformá-la em uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. 

Exemplos: 

a) 0,37 = 37/100 

b) 2,631 = 2631/1000 

c) 63,4598 = 634598/10000 

Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar sua geratriz. Damos, a seguir, um exemplo de como obter a geratriz de uma dízima periódica. 

Exemplo: 0,777 … 

𝑥 = 0,777 … ⇒10𝑥 = 7,777 … ⇒ 10𝑥 − 𝑥 = 7 ⇒ 𝑥 = 7/9 então: 0,777 … = 7/9 

Vamos aos exercícios!

º Quais das seguintes proposições são verdadeiras?

a) N ⊂ Q

b) Z ∈ Q

c) 0  ∈ Q

d)517 ∈ Q

Respostas

a) N ⊂ Q (O conjunto numérico dos números Naturais está contido no conjunto dos números Racionais).

R = V

b) Z ∈ Q (Os números Inteiros pertencem ao conjunto dos números Racionais).

R = V

c) 0 ∈ Q (Zero é um número Inteiro que pertence ao conjunto dos números Racionais).

R = V

d)517 ∈ Q (517 é um número natural que pertence ao conjunto dos números Racionais).

R = V

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Referência:

BALESTRI, Rodrigo. NETO, Eduardo Aparecido da Rosa. Matemática interação e tecnologia - 1 ano – S. Paulo: Leya. 2018. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. Vol. 1. 6ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2009. MARCONDES, Carlos Alverto; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática. Série Novo Ensino Médio. Ed. 7ª, Ed. Ática, São Paulo. 2003.