Conjuntos Numéricos - Números Naturais.

-

 Conjunto dos Números Naturais

Chama-se conjunto dos números naturais — símbolo ℕ — o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... . ℕ = {0, 1, 2, 3, …} 



Operações

Nesse conjunto são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: 

[A.1] associativa da adição 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ. 

[A.2] comutativa da adição 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 para todos 𝑎, 𝑏, ∈ ℕ. 

[A.3] elemento neutro da adição 𝑎 + 0 = 𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ.

 [M.1] associativa da multiplicação 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ. 

[M.2] comutativa da multiplicação 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 para todos 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ. 

[M.3] elemento neutro da multiplicação 𝑎 ∙ 1𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ𝑎 para todo 𝑎 ∈ ℕ. 

[D] distributiva da multiplicação relativamente à adição 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎c para todos 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ.

Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de ℕ, isto é, contêm ℕ, têm uma adição e uma multiplicação com as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo determinante da ampliação. 

Assim, dado um natural 𝑎 ≠ 0, o simétrico de 𝑎 não existe em ℕ: −𝑎 ∉ ℕ

Exemplos: O simétrico de 3 seria -3, porém, mesmo 3 estando contido no conjunto dos números naturais, -3 é um número negativo e não pertence aos números naturais.

* Em N, a subtração não é uma operação.

Vamo ao exercício!

º Seja H um conjunto {n∈ N;2≤n≤40, n múltiplo de 2, n não múltiplo de 3}.

Qual é o número de elementos de H.

Respostas

Para respondermos esta questão, precisaremos analisar os múltiplos de 2 e 3, sendo assim;

Múltiplos de 2 até 40:2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40.

Múltiplos de 3 até 40:3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.

Agoira podemos fazer parâmetro e definir quantos elementos estão contidos no conjunto H.

Eliminando os multiplos de 3, temos: 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40.

Assim:

R = O conjunto H possui 14 elementos.

Link da Imagem:

https://media.gcflearnfree.org/content/5b1042c66d5ad52ca4b6ed77_8_2_2015/numeros1-01_xl.png

Referências:

BALESTRI, Rodrigo. NETO, Eduardo Aparecido da Rosa. Matemática interação e tecnologia - 1 ano – S. Paulo: Leya. 2018. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. Vol. 1. 6ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2009. MARCONDES, Carlos Alverto; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática. Série Novo Ensino Médio. Ed. 7ª, Ed. Ática, São Paulo. 2003.


Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog

Noções da Teoria dos Conjuntos - Conjunto Unitário e Conjunto Vazio.

-
Imagem
  Conjunto unitário    Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.  Exemplos:  1º) conjunto de satélites naturais da terra:{Lua} 2º) conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}  3º) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai: {Rio Grande do Sul}  Vamos aos exercícios! º Quais dos conjuntos abaixo são unitários? A = {x ; x<9/4 e x>6/5} B = {x; 0*x=2} C = {x; x é o número de estrelas do sistema solar} D = {x; 2x=1=7} Respostas A = {x; x<9/4 e x>6/5}  (Para resolvermos esta questão, é preciso realizar as duas operações de divisão, após encontrarmos o resultado, basta aplicar o nosso conhecimento sobre intervalos, fazendo isso, descobriremos que há diversos valores entre 1,2 e 2,25, que foram os valores encontrados anteriormente, ou seja não é um conjunto unitário). R= Não é um conjunto unitário. B = {x; 0*x=2}  (Todo número multiplicado por zero é igual a 0, ...
Leia mais

Função Exponencial - Gráfico.

-
Imagem
Gráfico da Função Exponencial A função exponencial pode ser representada através de um gráfico traçado a partir de pontos no plano cartesiano. Como nesse tipo de função a base é maior que 0, a imagem será positiva e não existirão pontos nos quadrantes III e IV - que caracterizam uma imagem negativa.  Este gráfico sempre estará abaixo do eixo x no plano cartesiano. Deste modo, quando a função é decrescente, os valores de y aproximam-se de zero na medida que o valor de x cresce. Já na função crescente, se x cresce y também cresce.  Para construir o gráfico da função é necessário atribuir valores para x e montar uma tabela com os respectivos valores de f(x), marcando os pontos no plano cartesiano e, por fim, traçar a curva do gráfico.  Observe abaixo os gráficos das funções crescente e decrescente:  Como construir o gráfico de uma Função Exponencial? Em uma função qualquer, encontrar pares ordenados que pertençam ao seu gráfico é tarefa simples: ...
Leia mais

Função Logarítmica - Gráfico.

-
Imagem
Gráfico da função Logarítmica O gráfico da função logarítmica é uma curva, construída em razão dos valores aplicados em x e os respectivos resultados calculados para f (x).  As coordenadas são colocadas dentro do plano cartesiano nos quadrantes I e II, pois essa função é caracterizada por x > 0. Além disso, a depender da base "a", são classificadas em crescente e decrescente. Função Crescente Caso a base a seja maior que 1 (x1 < x2 <---> loga x1 < loga x2), a função logarítmica é dita como crescente, já que à medida que x aumenta acontece o mesmo com o f(x). É uma curva que cresce em virtude do aumento de x.  Quando estipulamos valores reais positivos para x e encontramos imagens, que podem ser todos os tipos de reais, inclusive os negativos, o gráfico crescente é da seguinte forma:  Função decrescente Se a base for 0 < a < 1, a função é decrescente em todo o seu domínio (x1 < x2<--->loga x1 > loga x2). Isso ocorre porque à med...
Leia mais