Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Reais.

Conjunto dos números Reais

Números Irracionais

Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica.

Por exemplo, o numeral decimal 0,1010010001... (em que o número de algarismos 0 0 intercalados entre os algarismos 1 vai crescendo) é não periódico.

. 

Ele representa um número não racional. Ele representa um número irracional.

Outros exemplos de números irracionais:

1,234567891011 

6,202002000 … 

34,56789101112 …

Chama-se conjunto dos números reais — símbolo ℝ — aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (que são números irracionais). Dessa forma, todo número racional é número real, ou seja: ℚ ⊂ ℝ 

Além dos racionais, estão em ℝ números irracionais como:

√2 = 1,4142136 …

𝜋 = 3,1415926 …

Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo, por meio da expressão 𝑝, em que √𝑝 é primo e positivo. 

São irracionais: √3, √5, √7 etc.

Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que, se 𝛼 é irracional e 𝑟 é racional não nulo, então: 𝛼 + 𝑟, 𝛼 ∙ 𝑟, 𝛼 𝑟 e 𝑟/𝛼 são todos irracionais.

Exemplos:√2 + 1, 3√2, √3/2, 3/√5 são irracionais.

Além de ℚ, destacamos em ℝ três outros subconjuntos: 

ℝ: (conjunto dos reais não negativos); 

ℝ; (conjunto dos reais não positivos); 

ℝ∗ (conjunto dos reais não nulos). 

Operações em ℝ 

As operações de adição e multiplicação em ℝ gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto ℚ. 

Em ℝ é também definida a operação de subtração e em ℝ∗ é definida a divisão.

Os números reais e reta

Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada:

Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se queremos, por exemplo, representar o número 1/2 sobre a reta, marcamos a partir de 0 um segmento de medida 1/2 𝑢 no sentido positivo. A extremidade desse segmento representa 1/2 . 

Na figura abaixo representamos sobre a reta vários números racionais.

Vamos aos exercícios!

º Quais das proposições abaixo são verdadeiras?

a) 3∈ ℝ

b) N∈ ℝ

c) Z⊂ℝ

Respostas

a) Verdadeiro (O número 3 pertence ao conjunto de números inteiros, que pertence ao conjunto dos números reais)

b) Verdadeiro (O conjunto de números naturais pertence ao conjunto de números reais) 

c) Verdadeiro (O conjunto de números inteiros pertence ao conjunto de números reais) 

Link da Imagem:

https://mmadasexatas.com.br/wp-content/uploads/2016/04/diagrama-conjunto-reais.png

Referência:

BALESTRI, Rodrigo. NETO, Eduardo Aparecido da Rosa. Matemática interação e tecnologia - 1 ano – S. Paulo: Leya. 2018. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. Vol. 1. 6ª ed. São Paulo: Editora Atual, 2009. MARCONDES, Carlos Alverto; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática. Série Novo Ensino Médio. Ed. 7ª, Ed. Ática, São Paulo. 2003