História da Matemática - Sistema de numeração no Antigo Egito, Operações e problemas no Antigo Egito, Frações Unitárias. (Minha Parte)

 Tópicos: Sistema de numeração no Antigo Egito, Operações e problemas no Antigo Egito, Frações Unitárias.

Sistema de numeração egípcia

 Os egípcios utilizavam um sistema de numeração não-posicional, isto é, a posição em que os símbolos que representavam as quantidades eram colocados não era relevante. A principal desvantagem do sistema de numeração egípcio (e de outros sistemas não posicionais) era a representação de números bastante grandes, pois esta se tornava uma tarefa muito trabalhosa devido à repetição de símbolos. 

Para os egípcios, a principal operação matemática era soma, da qual derivavam todas as outras operações com números inteiros. Para multiplicar, por exemplo, 2*4, os egípcios somavam 2+2+2+2. Ainda não dispunham de técnicas que lhes permitisse pensar na multiplicação e na divisão como operações independentes da soma. Era comum o uso de tabelas para facilitar cálculos que envolviam outros tipos de operação. O sistema de numeração dos egípcios era representado por meio de hieróglifos. Inicialmente, consistia da unidade e as 6 primeiras potências de 10, onde; 

Um traço vertical = 1 unidade 

Um osso de calcanhar invertido = 10 

Um laço (rolo de corda) = 100 

Uma flor de lótus = 1000 

Um dedo quebrado = 10000 

Um girino = 100000 

Uma figura ajoelhada = 1.000.000 

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Por exemplo: três laços e dois traços verticais seria 302, enquanto uma flor de lótus e três traços verticais seria 1003.

Operações e Problemas no Antigo Egito

Vejamos como os egípcios efetuavam operações com números, e examinemos alguns dos problemas encontrados em textos matemáticos egípcios. Como já dissemos, além das Frações unitárias, os egípcios usavam a fração. Veremos que multiplicar 7 por 5 é tomar 5 vezes o número 7, e NÃO tomar 7 vezes o número 5. Isto não quer dizer que os egípcios não conhecessem a propriedade comutativa do produto, eles a utilizavam para simplificar cálculos, mas o algoritmo que empregavam para multiplicar estava baseado na distinção entre multiplicando e multiplicador. Os egípcios procediam por duplicações sucessivas do multiplicando, 7. Este processo egípcio repousa sobre o resultado geral, bem conhecido, que todo número natural pode ser escrito como soma de potências de 2. " Ou seja, ne N, então existe k, número natural tal que, se n k n=a2 = 0,2" + a₁2¹ + a₂2²...a, 2²

Multiplicação

A multiplicação e a divisão dos egípcios eram efetuadas por uma sucessão de duplicações. Como exemplo de multiplicação achemos o produto de 12 por 27. A multiplicação é efetuada duplicando 12 até que a soma das duplicações exceda 27. A multiplicação do número deve ser organizada em duas colunas, sendo assim: escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados deem 27. Ex: 1+2+8+16=27 Tomamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos, obtendo assim a multiplicação dos números.

Divisão

Para realizarmos a divisão de dois números, devemos dobrar sucessivamente o divisor até que o número de duplicações exceda o dividendo. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados resultam no dividendo. Somando também os números da coluna esquerda, que será o resultado da divisão.

Frações unitárias

Devido às cheias do Nilo, os habitantes das margens precisavam medir seu terreno periodicamente para efetuar o cálculo da porção do terreno perdido para o vizinho. Essas medições eram efetuadas com cordas por encarregados do governado (os estiradores de corda). Embora as medições fossem bastante precisas, dificilmente a área do terreno depois da cheia cabia um número inteiro de vezes na área do terreno antes das cheias. Para contornar este tipo de problema, os egípcios criaram os números fracionários, que eram representados por frações. 

Os egípcios utilizavam com frequência a fração 2/3, a qual era representada através de um símbolo hierático (como se fosse um padrão). Também eram hábeis na decomposição de frações em frações unitárias, isto é, frações onde o numerador é 1. Acredita-se, pelos registros de cálculos contidos no Papiro Rhind, que dispunham de técnicas inteligentes de decomposição em frações unitárias. Por exemplo, a fração 3/5 era representada como a soma (1/3) +(1/5) +(1/15). No Papiro Rhind, encontra-se uma tabela de decomposição em fração unitária dos números 2/5, 2/6, 2/7, ..., 2/101. Estudiosos do Papiro Rhind constataram que as frações da forma 2/3k eram representadas pela soma (1/2k) +(1/6k), e as frações da forma 2/5k eram representadas (1/3k) +(1/5k), embora curiosamente, a fração 2/95 seja a única deste tipo decomposta de maneira distinta. Ela aparece decomposta na soma (1/60) +(1/380) +(1/570).